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奇怪子集与基数不改变量,经过如此转型的逻辑

2019-11-04 01:12

核证逻辑开始于20世纪90年代的“证明逻辑”,后者是为直觉主义逻辑提供算术语义的一个部分。根据哥德尔的一个推理结果,直觉主义逻辑嵌入到S4,由于哥德尔不完全性定理,S4的必然性算子不能作为算术中的形式可证性;但根据哥德尔1938年的一个推理想法,S4的必然性可以看作“显式”可证性谓词。这一思想在20世纪90年代被阿逖莫夫独立发现,成为建立证明逻辑系统的动机,模态算子被一族显式“证明项”所替换。阿逖莫夫证明的“算术完全性定理”表明,S4可嵌入到证明逻辑,而证明逻辑可嵌入到形式算术。所有这些一起为直觉主义逻辑提供了一个算术语义学。“核证逻辑”是把证明方法论内部化的模态逻辑新分支。

Model Logic and Philosophy Beijing University of Aeronautics and Astronautics,

2018年10月26—28日,中国逻辑学会现代逻辑专业委员会主办、厦门大学哲学系承办的“2018年全国现代逻辑学术研讨会”在厦门大学召开。本次研讨会的主题包括哲学逻辑、数理逻辑、逻辑哲学、逻辑与语言等。

可能世界语义学

在最早发表于1991年的一篇讲演“二十世纪的逻辑与哲学”①中,乔治·亨利·冯赖特称“逻辑学一直是我们时代哲学的显著标识”。不过,他断言:“在新时期哲学发展的整个图景中,逻辑学不可能再继续扮演它在二十世纪所保有的那种重要角色。”②

Beijing 100083 Dept.Philosophy,Beijing University,Beijing 100871

本次会议的组织安排由厦门大学郑伟平、黄朝阳、何纯秀负责,大会程序委员会由刘新文负责。来自阿姆斯特丹大学、北京大学、河北大学、西南大学、浙江大学、中国人民大学、中山大学、中国社会科学院等国内外高等院校的100余位专家学者和学生参加了此次会议。

模态逻辑是关于必然性和可能性的逻辑,或者说,是关于“一定是”和“可能是”的逻辑。必然性和可能性也可做其他解释:真势模态逻辑把必然解释为必然真;道义逻辑则把必然解释为道义必然性或规范必然性。必然也可以指“知道为真”或“相信为真”,这是认知逻辑的解释;如果指“总是为真”或“从此总是为真”,则是时态逻辑的解释。还可以把“必然p”解释为“p是可证的”。作为必然性和可能性的逻辑,模态逻辑不仅考虑事物实际存在方式的真和假,而且考虑“如果事物处在与实际存在方式不同的存在方式中,那么什么将是真的或假的”。如果一个人考虑到了事物在真实世界中的存在方式,那他或许也会考虑事物在可替代的、非真实即可能的世界中是如何地不同于真实世界中的存在方式。逻辑关注真和假,模态逻辑则关注真实世界和其他可能世界中的真和假。在这个意义上,一个命题在一个世界中是必然的仅当它在可能替代该世界的所有世界中为真,它是可能的则仅当它在可能替换该世界的某个可能世界中为真。

冯赖特为他的判断提出了两个理由。一是他发现一种对于文明社会的新的悲观情绪。其中的暗示是,从好的方面看,21世纪的哲学家将全神贯注于对启蒙之缺陷的批判,而无暇过多地顾及逻辑;从坏的方面看,他们将把逻辑视作他们正进行批判的东西的一个要素。或许可以说,尽管哥德尔和塔斯基在20世纪30年代的欧洲证明了最具哲学开创意义的结果,但这种结果本身立即就为文明悲观论提供了根据。

内容提要:模态逻辑是关于必然性与可能性的逻辑,因此也就涉及到必然与可能相关的一些哲学问题。除语义学方面的问题外,模态逻辑自身也存在与哲学相关的问题,如本质主义问题、抽象实体的存在性问题等。模态逻辑也引发一些哲学问题,如可能世界的本体论问题,可能个体的跨界同一和识别问题等。模态逻辑的研究成果对当代哲学的发展也具有重要的意义。当代马克思主义哲学的研究也应该结合与考察现代逻辑的研究成果。

会议开幕式由大会程序委员会主席刘新文主持,厦门大学人文学院院长朱菁、厦门大学逻辑学资深教授潘世墨、厦门大学人文学院哲学系系主任曹剑波代表会议承办方致辞。在两天的学术讨论中,总共进行了27场报告,其中包括:2场特邀报告、1场本地特邀报告、17场常规报告、5场学生报告、2场关于科研工和学术综述的教学报告。这些报告充分展示了我国现代逻辑的最新研究进程、成果以及教学和研究方面的新理念。

以此为基础来考虑模态逻辑有效性的可能世界语义学始于20世纪50年代晚期和60年代早期。可能世界是可能世界语义学的核心概念,模态逻辑历史中最主要的突破性进展是可能世界语义学的提出,由于简单、自然以及起源于哲学等特点,可能世界语义学一直是模态逻辑模型论研究的基本工具。

冯赖特的另一理由是这样的。在初创的无序时期,现代逻辑曾主要关注于具有重大哲学意义的基础性问题,但自20世纪30年代以来,它已进入规范科学时期,这时精确的专业化问题通过约定性的严格方法进行回答。基础性计划不再浮夸吹嘘。根据冯赖特,“经过如此转型的逻辑不再是哲学,而变成了科学。”③可以感觉到,这一说法在哲学与科学关系上预设了一种非必然的相互排斥的观念,其可能是基于一种过于理想化的科学概念。然而,冯赖特引自贝特兰·罗素的一段话是有先见之明的:“除开其发端时期外,数理逻辑……并非直接具有哲学的重要性。在发端时期过后,与其说它属于哲学,不如说它属于数学。”④与任何其他的数学工作相比,当代逻辑中的大多数工作(譬如以《符号逻辑杂志》为代表)并不具有更多的哲学意义。虽然数学严格性可以有很重要的哲学意义,但逻辑探究的方向现在更有可能是由数学兴趣而非哲学兴趣所确定的。⑤

Model Logic is about the one of necessity and probability,and it would be involved some philosophic problems.Besidesome problems of semantics,model logic itself also includessome philosophic problems,such as essentialism, abstractentity and so on.

大会特邀报告

可能世界的名字

尽管如此,如果逻辑变得不再具有哲学性,这并不意味着哲学就不再具有逻辑性。没有证据能够说,哲学家们平均运用逻辑方法或形式方法比过去少了。形式认识论上的新近发展显示出相反情况。更为一般地讲,通过形式化来检验论证乃是当代哲学中的标准做法。当然,这种方法不能盲目适用——它们具有限度,必须谨慎和明智地加以运用。但什么科学方法不是同样如此呢?

关键词:模态逻辑/本质主义/抽象实体/哲学/model logic/philosophy/necessity/probability/essentialism/abstract entity

四川大学张树果的报告题目为“奇异子集与基数不变量”,介绍了实数的经典奇异子集和它们的应用。他指出,基数不变量理论是在力迫理论的基础上发展起来的一个内容丰富且在数学相关分支具有广泛应用的新理论,在构造奇异子集方面具有特殊作用,对于建立相关奇异子集的存在性有重要影响。报告最后介绍了他最近几年在奇异子集及基数不变量方面的部分研究结果。

可能世界语义学与旧有的句法传统之间的对应并不完美,局部视角与标准模态语言的全局视角两者之间的不对称正是问题的来源。也就是说,在可能世界语义学中具有根本地位的可能世界并没有在模态句法中表现出来。这种不对称情形导致了许多并非我们需要的结果,比如,缺乏对许多语义特征的充分表示,缺乏合适的模态证明论。前者比较容易解释,因为标准模态语言没有一套机制来命名一个模型中的特殊“可能世界”、断定或否定可能世界的相等、表达从一个可能世界到另一个可能世界的可达性等。这些都属于模态模型论的核心问题,但在标准句法中表示不出来。可能世界语义学中框架的许多重要性质都以一种非常间接的方式被表达出来,而其他许多重要性质则干脆在标准模态语言中无法被表达。

冯赖特承认,“我们可以确信,逻辑学中也将永远地存在暗角,从而它必定永远有某个地方能受到哲学家的关注”。⑥但是,对于逻辑学在哲学上的无争议性所存在的挑战,现在远比冯赖特所设想的更具系统性。

1 模态逻辑

北京大学叶闯的报告题目为“关于抽象对象的直观真语句与传统语义学假设——语言哲学与形而上学界面上的典型问题及解决策略”。他指出,一个被普遍接受的传统语义学假设是:如果一个语句为真,它在指称位置上的词项指称存在的对象(在语句被表达为它的逻辑形式时)。但是含有似乎指称抽象对象的名词性短语之语句(比如“桌子上的柚子数是3”,“哈利·波特是魔法学校的学生”)有可能挑战这个传统假设,因为它们在直觉上可以是真的,但是否满足上述的语义学假设却至少是有争议的。随后,他提出了逐层递进的三个问题:第一,是否可以给此类语句一种合理解释,且又保存传统语义学假设;第二,如果不可以,是哪些部分不可以,还是都不可以;第三,对于不可以的部分,必须有所改变的语义学到底需要在多大程度上离开传统假设,或者,它需要以什么方式修改传统的语义学假设,甚至整个语义学的传统。围绕这三个问题,他讨论了两类语言学驱动策略:一类是通过重新理解某些语言装置的语义学涵义,来解释相关的直觉的真语句;另一类是通过刻画我们在理解此类语句中所采取的态度,以及我们在采取某种命题态度时,我们实际或应该考虑语义内容的哪些部分,来解释为什么我们直觉上认为相关的语句是真的。最后,他提出一种新的语义学模式,通过构造一种更丰富的truthmaker理论,意图更细致、更有效地在语义上刻画那些直观的真语句。

模态逻辑的标准证明论的应用范围是非常有限的。普通证明方法应用到标准模态逻辑时的问题主要与下述事实有关:很难处理模态算子辖域内的信息。对于许许多多的模态逻辑来讲,存在着大量的非公理化的证明系统,但是在大量情况下,这些逻辑提供的都是对它们的形式化中所出现的问题的人为解决。一些所谓自然的系统只是某些特殊的逻辑的形式系统,难以进行一般化推广。因此,在标准模态逻辑中,与可能世界模型所成功提供的语义工作相比,句法方面并没有一种统一的架构可言。

模态指的是事物和命题的必然性和可能性等这类性质。模态逻辑简单地说就是关于必然性与可能性的逻辑。因为涉及到必然性与可能性这样一些哲学概念,模态逻辑又称为哲学逻辑,是哲学逻辑中最先发展起来的一个重要分支。

厦门大学周昌乐作了题目为“禅宗机锋博弈的认知逻辑描述”的本地特邀报告,该报告的内容基于周昌乐指导的博士生高金胜的博士论文。他们认为,机锋对话作为禅宗中一种非常重要的语言活动,是一种用于启悟和交流的交际方式,也是禅师们常用的教化手段。从机锋语言的表象而言,是一种不合常规逻辑的语言,但从机锋语言的本质而言,又是一种逻辑可描述的、可计算的语言。根据会话含义等理论,他们从博弈视角给出了机锋的定义,在论证机锋行为的博弈属性基础上,将机锋语言的相关要素进行策略化,在此基础上建立了相关的启悟认知模型以及基于机锋博弈的启悟动态认知逻辑系统。

一个自然而然的问题就是如何使得句法和语义相互一致起来。一种可能性就是在语言中为模型中的可能世界引入明显的句法表示。这样一种扩张可以为表达力提供足够的灵活性,不过也引发一个伴生的问题:以何种方式实现这一工作。至少可以有两种方向:外部方向和内部方向。外部方向是为逻辑语言引入新的元理论工具,模态逻辑中最流行的解决办法是为公式添加前缀。内部方向则是添加对象语言以及新的算子,对象语言的丰富通过对原子进行分类表达到。这就是混合逻辑所做的工作——在句法中为可能世界引进“名字”。

在逻辑变得更像科学而非哲学的过程中,一阶逻辑(当然是经典的非模态形式)开始拥有“标准逻辑”的地位。逻辑教科书传授一阶逻辑;它们却很少讲二阶逻辑,后者被边缘化了,被认为是奇异的。然而,弗雷格、罗素和怀特海以及1914年前其他人的逻辑系统都是高阶的。他们的一阶逻辑部分仅仅在反思时才能单独产生意义。有关一阶逻辑典范化的历史细节,存在着争论。⑦无疑,哥德尔1930-1931年的完全性和不完全性定理具有关键地位。它们显示,一阶逻辑具有可靠且完全的形式公理系统,而对于二阶逻辑,却不可能有一个可靠且完全的形式证明系统。在此意义上,一阶推理可变成纯形式的,而二阶推理却不可以。后来,蒯因对于一阶逻辑的特权提出一种著名的哲学辩护。他将二阶“逻辑”视作集合论的一种惑人外表,后者的本体论承诺可以通过其在一阶框架下的明晰公理化更为真实地显现出来。蒯因也不承认标准一阶逻辑的其他替代系统的逻辑地位,特别是模态逻辑等经典逻辑的扩充系统和直觉主义逻辑等非经典逻辑。⑧

模态逻辑分为传统模态逻辑和现代模态逻辑。传统模态逻辑产生于古希腊。现代模态逻辑是在数理逻辑的推动下产生和发展起来的。本世纪初,罗素建立了经典逻辑。因为对经典逻辑中的实质蕴涵不满,认为没有刻画出日常推理关系,美国逻辑学家和哲学家C.I.刘易斯(C.I.Lewis)提出了严格蕴涵,并以此为出发点建造了5个逻辑系统S1,S2,…,S5,这就是最初的5个模态逻辑系统。所谓“p严格蕴涵q”即p可以逻辑地推出q,或“p实质蕴涵q”具有逻辑的必然性。这样,就把必然性等这类概念引入了逻辑,建立了一个新的现代逻辑分支。现在模态逻辑中有着无穷多的系统。每一个系统都是对一种必然性的刻画。

主题报告

混合逻辑是模态逻辑的一个崭新分支,不过起源可以追溯到20世纪50年代,只是重要性直到20世纪90年代才被认识到。混合逻辑的两个根本思想是:满足关系的内部化(此时的满足关系是相对而言的)、把命题划分为普通命题和名字。

蒯因的立场现在看来过于局限了。在数学上,他所否定具有逻辑地位的特定系统均为定义明确的结构,都可以通常的方式进行研究。在哲学上,将它们排除在外似乎是独断的,是无谓的争论。经典逻辑的某些扩充系统尤其是模态逻辑习惯上都被用作哲学讨论的逻辑背景。⑨现在有许多数学哲学家都深信,数学理论上适当的逻辑背景都是二阶的而非一阶的。最显著地,二阶算术充分表现了自然数结构,因为它的所有模型都彼此同构;然而,一阶算术及其任何一致的形式扩充却不具有我们想要的那种模型——它们所包含的成分通过有穷多次应用开始于零的后继运算却难以达到。⑩此外,有人做出专门论证来反对经典逻辑,支持某种非经典逻辑(多值逻辑、弗协调逻辑、直觉主义逻辑等等),以便对于说谎者悖论、谷堆悖论、有关无穷或未来的形而上学问题等等,给予令人满意的哲学解说。即使有谁反对这样的论证,他也不能根据找不到经典逻辑的一种真正替代系统就简单地拒斥它们。任何有效的回应必须涉及所讨论的提议的细节。

模态逻辑有多种语义学,其中主要的是可能世界语义学。可能世界语义学的基本出发点来自于莱布尼茨关于必然性和可能世界的思想:一个命题是必然的,当且仅当,它不仅在现实世界中真,而且在所有可能世界中都真。可能世界语义学建立于50年代中至60年代初期,由几位创立者几乎同时提出。其中克里普克最为明确地指出他的语义学来自于莱布尼茨的思想,并且用他的语义学证明了一系列模态系统的完全性,所以影响最大。

在两天的会议中,另有17位与会学者交流了近期研究成果,按照主题简要概述如下。

添加了这些内容之后,我们可以获得怎样的结果?尤其是,这样一来确实就比标准模态语言优越吗?这个问题在原子分类方面尤其有意思:众所周知,对一阶语言的变元进行划分并不会获得更多的表达能力,只是比标准单种类语言表述得稍微紧致、简单一点。但是,在模态语言中对变元进行分类将会真正改变表达能力从而获得更多的改进。因此,混合的模态语言主要是修复关系结构的元素与语言能力之间不对称性的一种工具。简而言之,混合语言的引入将有下述用处:获得更具表达力的语言;完全性理论中更好的表现;更自然、更简单的证明理论;可判定性、复杂性、内插性以及其他重要性质中的良好行为。

不同系统的这种无序如何与显然为科学而非哲学的逻辑本性相协调呢?答案在于元逻辑的地位。在正常情况下,所有这些系统都是在一阶非模态元语言下运用经典推理和集合论进行研究的。科学秩序在元层次上得以恢复。此类系统不仅在句法学和证明论上适于正常的数学研究方法,而且它们的模型论也是在经典一阶集合论内实现的。我们以模态命题逻辑为例来看。

可能世界语义学给模态逻辑提供了严格的语义对象和研究工具,为分析各类必然性提供了有力的技术手段,使得必然性这种几乎无从下手分析的性质得到严格的刻画,分清了不同的必然性的强弱层次。今天可能世界语义学已在逻辑学中占有非常重要的地位。各种哲学逻辑几乎都用到这一语义学。经典逻辑的语义也可以被看作该语义学的特例。

中国人民大学张炎的报告题目为“深度和后继宽度有穷的传递逻辑的有穷可公理化”(Finite Axiomatizability of Transitive Logics of Finite Depth and of Finite Suc-width)。他说明了这类逻辑有穷可公理化的正反两方面结论:对于正面结论,他证明了每个有穷深度且有穷后继宽度的传递逻辑若包含Widn·则是有穷可公理化的,其中,Widn·表达的是有根框架中每个反链包含至多n个非自返点;对于反面结论,通过构造无限不可约框架序列的方式,他证明了存在连续统多个深度为n且后继宽度为k的非有穷可公理化的传递逻辑,其中n  3并且k  2。

关于获得更具表达力的语言,直接的字面意思就是说在扩张后的语言所表述的逻辑中将会有更多的有效式,但更为重要的是,混合语言可以定义许多在标准模态语言中不能表达的框架性质。表达能力的提高有利于更为直接、更为完备的框架可定义性理论的建立。混合逻辑中获得的一般完全性理论也将比标准模态逻辑中相应的结果更为简单。模态逻辑的标准证明方法的应用比较复杂是因为很难处理模态算子辖域内的句子。在混合逻辑中,一些自然的工具如名字和满足算子可以处理这一问题。混合逻辑中的每一个模态化句子都可以分裂成几个部分,其中一些部分载有一个模型的结构信息,而一个部分直接为我们给出原先处于模态算子辖域内的句子。把复杂信息分解成较为简单部分的这一自然方式,容易使经典逻辑的非公理化方法移植到模态逻辑。因此,混合逻辑更为丰富的语言为模态证明论提供了更为一般且统一的句法背景。

对于模态逻辑来说,决定性的技术突破是“可能世界”语义学的发展。其主要定义是关于模态命题逻辑的模型以及模型内真。根据标准,模型是任意四元组,其中W是一非空集,@是W中一元素,R是一在W上的二元关系(可理解为W元素有序对的集合),而V是由原子公式到W子集的函数。对于在给定模型中W元素w上一公式的真,递归定义。原子公式p在w为真,当且仅当w∈V。对于否定、合取之类的真值函项算子的规定显然是近乎重复的:对于任意公式A,A在w为真当且仅当A在w不为真;对于任意公式A和B,A & B在w为真当且仅当A在w为真并且B在w为真。对于可能和必然等模态算子的规定,分别采用在W上的存在量化和全称量化:◇A在w为真,当且仅当A在某个使得R的x∈W为真;□A在w为真,当且仅当A在任一使得R的x∈W为真。一公式在模型为真,当且仅当它在@上相对于该模型为真。一公式在模型类C上有效,当且仅当它在C类的每一分子为真。

中国社会科学院贾青的报告题目为“持续性行为的两类评估”(Two Sorts of Evaluations for Continuous Action)。她指出,STIT理论(“see to it that”的缩写,用来描述主体的行动或选择)只能描述瞬时性动作,而很难描述持续性动作,因为它是基于时间点的,而持续性动作是基于时间段的。因此,她给出了一个版本的点—段逻辑,并基于此给出了一个新的STIT理论。根据我们对行动的评估是时间点还是时间段的差别,她给出了两类stit算子,并进行了讨论。

值得一提的是,在很多情况下,我们不必为语言表达能力的提高而付出代价。逻辑的一个非常重要的特征是它们的可判定性及判定程序的复杂性。那些可判定的模态逻辑经过混合化之后仍然是可判定的,而且通常的情况是复杂性也并没有被触动。

这些定义是以纯数学语言给出的。没有模态算子用于元语言,甚至也未用于在对象语言中对模态算子◇和□的规定。非形式地给出语义学,我们可以把W说成是世界集,把@说成是现实世界,把R说成是世界之间的相关可能性关系,但这些思想在形式定义中什么作用也没有。譬如,我们可以通过纯数学手段证明,公式(p &□p)对所有模型(其中R在W上是自返、对称和传递的)组成的类不是有效的。我们在证明时只需指定一个模型,其中:

中国人民大学余俊伟的报告题目为“不同视角下的逻辑多元论”。他区分了两个层次的多元论:第一层次区别出经典逻辑与直觉主义逻辑,源自对何为正确推理的解答不同;第二层次区别了众多非经典逻辑,源自对正确推理该如何采用当代逻辑研究范式去刻画的理解不同。他认为,第二层次的多元是不争的事实,区别只是在于如何形式化的问题,在这个层面上多元论与一元论的争论可以消解。真正的争议在于第一层次,即形而上学之争,他认为这种差别是对思与是同一与否的不同回答造成的,赞同二者同一则为经典逻辑,反对则为直觉主义逻辑或辩证逻辑,这实质上是哲学观的争论。因此,对于多元论与一元论层次的区分,可以避免很多无谓的争议。

可能世界语义学是模态逻辑最流行的语义学,也是最具哲学意义的语义学,在模态逻辑的对象语言中引入“可能世界的名字”作为一类原子命题,非但没有破坏模态逻辑的基础,反而提高了它的表达能力,具有深刻的理论意义和哲学意义。

W={0,1},@=0,R={<0,0>,<0,1>,<1,0>,<1,1>},V={0}。如此,在该模型中,p &□p为真,因而(p &□p)不为真。根据可能是该对象语言的预期解释,这里显示:真并不就意味着必然性(至少对于此类模型来说),但也不是在提出一个偶然真理的例子:该模型乃纯抽象的数学结构,而且公式p在模型中0为真这一事实本身不是偶然的。有偏执的形而上学家认为,所有真理都是必然的,但他却在数学上保持正统,这样的人必定依然同意:公式p &□p在该模型中为真,但他会完全否认:该模型符合该对象语言的预期解释。实际上,在过去的50年间,有关模态逻辑的技术研究通过在其推理中消除所有模态因素已取得巨大进展。

吉林师范大学彭杉杉的报告题目为“扎尔塔抽象对象理论与假装理论融合方案的形式化改进”。关于虚构对象的本体论承诺,扎尔塔的抽象对象理论与沃尔顿的假装理论分属于实在论和反实在论范畴,而扎尔塔主张二者可以融合,并以定义“故事”和“虚构对象”的方式改进了抽象对象的模态理论。在此基础上,她提出了新的改进方案,将虚构对象集设定为抽象对象集的子集,定义了虚构对象M!x与虚构性质M!F,构建了形式化系统MTAOM,对虚构对象的本体论地位、同一性问题和含有虚构名称的命题真值做出较为一致的解释。

构造核证逻辑系统

对于大卫·刘易斯(David Lewis)这样的所谓模态实在论者来说,凡模态者实际上都可化归为非模态者:在非模态语言中对于世界的量化,比起运用模态算子,能更为清楚地表现出潜藏的形而上学实在。现实世界只不过是众多世界中的一个,好比此处只不过是众多位置中的一个,它仅从其自身角度来看才具有特权。但是,大多数采用模态语言的哲学家都反对模态实在论,认为它完全不合情理;他们坚持认为,这一现实世界在客观上拥有一种特殊的形而上学地位。因此,就这一方面来说,运用模态算子,比起在非模态语言中对于世界的量化,能更为清楚地表现出潜藏的形而上学实在。根据这样的观点,形式模型论仍然起着辅助作用,它有助于证明:特殊的模态结论不可能由特殊的模态前提得来。此外,若考虑模态因素,我们可以指出,对于原子公式的任一给定的命题指派,总有一个模型,其中真公式与在该指派下根据联结词的预期解释为真的公式完全相符。由此可得出,对于某模型类,在该类中有效的公式与在对原子公式的每一命题指派下根据联结词的预期解释有效的公式完全相符。一旦合适的类得以确定(这还要求考虑模态因素),它就可用于对模态推理的检验。但这些应用并非形式模型论本身所固有,而且对于它的使用是纯粹工具主义的视角。

中国科学院大学范杰的报告题目为“偶然与意外的双模态逻辑:互模拟与范·本特姆刻画定理”(Bimodal Logic with Contingency and Accident: Bisimulation and van Benthem Characterization Theorems)。他指出,自20世纪60年代以来,许多学者对偶然和意外这两个重要的哲学概念分别进行了逻辑研究,但由于这两个概念很容易被混淆,因此有必要把这两个概念放到同一个逻辑体系中进行研究和区分。在一篇已发表的文献中,他在几个框架类上公理化了一种偶然与意外的双模态逻辑,但是关于这个逻辑的互模拟理论以及相应的范·本特姆刻画定理的问题没被解决。这一报告尝试回答这一问题。

混合逻辑是内部化了的可能世界语义学的模态逻辑,而核证逻辑内部化了证明方法论。一个自然而然的问题是:是否具有核证逻辑形式的混合逻辑。也就是说,把“可能世界的名字”引入核证逻辑,在一个逻辑中既内部化语义学又内部化证明,把这两种思想组合到一个系统当中。这个方向开始于世界著名逻辑学家费汀在2010年的工作。我们的研究在其基础上构造了混合逻辑形式的核证逻辑系统,把语义学内部化和证明内部化统一在一个形式系统内,建立起混合核证逻辑的极小系统,提出适当的语义解释并给出完全性定理和实现定理的证明,从而解决了费汀提出来的未解决问题——混合核证逻辑的极小系统问题。

类似的现象出现在二阶逻辑上。其标准模型论是由一阶元语言加上集合论给出的:二阶变元涵盖一阶变元域的所有子集。像斯图尔特·夏皮罗(Stewart Shapiro)这样的二阶逻辑主要倡导者,以英语这一非形式元语言所运用的一阶量化涵盖属性、集合、关系或函数,其所属的语法范畴与我们在说“一阶变元涵盖定义域内诸个体”时所运用的完全相同。但二阶量化是在谓词位置上的量化,这与一阶量化在名称位置上的量化相对。夏皮罗为其所支持的二阶对象语言所提出的元语言是一阶的。

西南大学张玉志的报告题目为“一个时态认知逻辑的新系统——基于对认知算子的时态化处理”。他首先简单阐述了日本学者Sato给出的结合时间与认知的正规形式系统,并在Sato的基础上构造了一个可以刻画对公共知识进行完美回忆的新系统S5tCt,该系统将认知与时态融合进同一个算子中,个体知识、普遍知识和公共知识都被时间点标注。根据该系统,每个个体都可以完美回忆自己在之前所有时刻上的认知状况。然后,他给出了S5tCt系统的模型、语义解释以及可靠性证明,还利用典范模型技术证明了该系统在等价且单调递减的框架类上是完全的。

混合核证逻辑极小系统的建立对于混合核证逻辑这一族逻辑的研究具有重要意义,极小系统的发现意味着这一族逻辑中“最普遍真理”的发现。从哲学上来说,由一个名字命名的可能世界是一类“事实”,在维特根斯坦看来,“逻辑空间中的诸事实即是世界”,构成一个世界的诸事实必须要能被验证确实是构成了一个世界,这是建立并研究“混合的核证逻辑”的部分哲学意义。

至于非经典逻辑,它们的元理论通常也是运用经典推理实现的。以连续统值(continuumvalued)逻辑或模糊逻辑为例来看。它有时被提出作为模糊悖论的解决方案,因为需要用真之程度的连续统来追溯类似“她是孩子”这样的模糊语句何以由真经过连续性过程逐步转变成假。它还被提出作为类似说谎者悖论的语义悖论解决方案的一部分。命题逻辑的连续统值模型是由原子公式到实区间[0,1]分子之间的函数,其中1代表绝对真,0代表绝对假,而其他数字代表真之中间程度。该模型论的独特之处在于,它对作为成分公式真之程度的函数的复合公式的真之程度进行计算,是对二值真值表的一种概括。令v为A的真之程度。则:

西南大学熊作军的报告题目为“关于追随的一个混合的动态命题逻辑”(A Propositional Dynamic Hybrid Logic for Followership)。他主要关注于主体通过命题来选择是否跟随某个特定群体对象。在混合逻辑的基础上,他引入了一个动态算子[a],表示“主体a正在跟随所有的具有性质的主体”,来刻画跟随状态的改变。他给出了跟随的逻辑的语法语义解释,并且证明了该系统的完全性。

(作者系中国社会科学院研究员,专著《可能世界的名字》入选《国家哲学社会科学成果文库》)

v

浙江大学余喆的报告题目为“基于形式论辩理论的滑坡论证评估”。她参照形式论辩中的结构化论辩框架ASPIC+,结合滑坡论证基本图式,提出了一个适用于滑坡论证的论辩理论。基于该理论,她构造了一个有代表性的滑坡论证案例的论辩理论,并给出了由该论辩理论得出的论辩框架,在优先语义和基语义下进行论证评估后得到的可接受论证情况。此外,她还根据Walton提出的与滑坡论证相应的批判性问题,从形式论辩的角度给出了滑坡论证可能受到的攻击类型。根据案例分析表明,这一滑坡论辩理论得到的结论是符合推理直觉的。

v(A & B)=最小值{v}

厦门大学郑伟平的报告题目为“罗素逻辑理论研究的新进展”。伯特兰·罗素的未发表文稿中,有一个重要的逻辑理论——替代理论,隐藏在简单类型论到分支类型论的发展过程中,它适用于所有实体,不包含类型区分,仍坚持非受限变元原则。关于该理论最具影响力的是兰蒂尼的研究工作,他完成的主要工作有:一是,主张罗素持有一种普遍科学的逻辑观念;二是,阐述了罗素的非受限变元原则;三是,完成了替代理论的形式化工作;四是,挑战了丘奇关于《数学原理》中分支类型论解释的经典观点。除此之外,国内也有很多专家学者开展了关于罗素理论的探索和研究。郑伟平指出,罗素逻辑研究领域的一个着眼点是以非受限变元为核心,在技术化方向上寻求突破。

v=最大值{v}

中山大学袁永锋的报告题目为“信念修正视域下的悖论研究初探”。他指出,悖论的形成、发现与解决,是一种典型而复杂的信念修正过程,悖论的本性在于主体接受似然前提与反对矛盾结论之间命题态度的差异,它本质上是一种信念矛盾,而解悖是一种信念修正过程。他阐述了RZH解悖标准:勿株连无辜标准、勿顾此失彼标准和非特设性标准,其中前两条标准分别对应信念修正理论的一致性原则和最小改变原则,非特设性标准要求解悖方案要揭示出似然前提的内在缺陷,而不是直接放弃该前提。基于雷歇尔解悖方法论,他提出应当以极高置信度的核心信念作为缺陷与否的判断依据,对似然前提进行评价以发现那些似是而非的前提,进而表明这些前提在违反核心信念的意义上包含一种“内在缺陷”,最后发现并阻断该前提直观成立之判断的形成机制,彻底解决悖论。最后,他依据这种解悖方法论,对罗素悖论给出了一种新的解决方案。

v=1-),若v;否则为1。最后一条是说,条件句的真之程度应该小于绝对真,仅就从前件到后件出现真之程度亏损来说。一公式有效当且仅当它在每一模型下都为绝对真。我们现在可在数学上证明,排中律p∨p根据该语义学为非有效的。因为在其中v=0.5的一模型中,对于否定和析取的规定也使得v=0.5。这种模型论证明是运用经典逻辑和数学给出的。它完全不求助于模糊性、语义悖论或其他任何被认为引发由二值到连续统值语义学转变的现象。然而,根据此类模型论的提倡者,它所确证的公式与根据对具有潜在模糊或语义悖论的原子公式的每一解释为绝对真的公式全然相符。此例对于通常的非经典逻辑元理论非常典型。在这样的情形下,元语言中的经典推理根据近乎重复的语义规定得出结论:对象语言的某个经典原理为非有效。

华侨大学魏燕侠的报告题目为“两种贝叶斯主义的信念度模型”。她首先阐述了贝叶斯主义知识论的两种不同信念度模型——主观主义与归纳主义的主张和论证。主观主义认为,理性主体的信念度应该满足概率主义原则与条件化原则;归纳主义认为,理性主体的信念度应该与命题间客观的辩护联系相匹配,遵循无差异原则。然后,她引入去实用化的荷兰赌论证和杰弗瑞条件化理论为概率主义原则和条件化原则进行了辩护,并通过实例说明了归纳主义的无差异原则不成立。最后她指出,信念的本质是陈述世界所是,而不是规范世界应是,因此主观主义是相对更可取的。

有一种默示的蒯因主义似乎是在做元层次工作。任何对于经典一阶非模态逻辑的背离都被许可,因为它可在经典一阶非模态逻辑中给出一种模型论。其格言是:你尽可以在对象语言中背离传统,只要你在元语言中严守正统。这一态度甚至可以给人一种印象:逻辑上的差异仅仅是记法上的,或者至少是有点表面化的,因为我们在元语言中全都意见一致。既然当代数理逻辑大都是元逻辑,难怪它采用了约定性的、科学的方法。

浙江大学董惠敏的报告题目为“假设其他条件不变下的许可与义务”(Permission and Obligation within Ceteris Paribus)。 她遵循许可与义务作为规范精细的充分必要条件的观点,发展出了一种可靠的、完全的动态逻辑来统理这一思想。她认为,在假设其他条件不变的原则下,许可和义务应当被看作“正确的(the right)”的充要条件。这个观点转变为了一种可以解决the Lewis problem、the gentle murder puzzle、the Ross paradox和the equilibrium selection problem的动态逻辑的普遍形式理论。这一理论适用于解释自然语言和博弈中关于许可和义务的讨论,为许多道义悖论提供了自然的解决方案。

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